PHP实现动态规划之背包问题

由于我司举办一个算法编程大赛，随机抽签下面图片的算法题目，想了一段时间记起之前在书（算法图解）上有一个算法比较符合，那就是动态规划中的“背包问题”。

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

如何选择最合适的物品放置于给定背包中，与我们的题目相符合，所以这次我们使用的是“0-1背包问题”，用我们这次的题目进行代入，“总人数” 等价于 “背包”，“物品” 等价于 “工单类型”，物品的重量就是所需人数。

补充：

背包问题解法延伸问题有三个：无界背包问题、0-1背包问题、二次背包问题 （不做详细延伸，只需我们使用的）

算法题目如下

动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。

初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态

动态规划解题公式:

f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

● 横向m(总人数),纵向n(4辆车做的工单类型)

● f(n-1,m) ==> (决策1)上一个工单类型对应的技师人数，做的工单利润

● P(n,m) ==> (决策2)当前工单类型对应的技师人数，做的工单利润

● f(n-1,m-w[n]) ==> 用减去当前工单所需人数，在上一个决策中对应人数的利润

所以最优解的答案是：决策n中五个技师中对应的值，1799元

PostMan提交参数：

people:5 carDetail[0][technician]:2 carDetail[0][amount]:49 carDetail[0][type]:全车安检 carDetail[1][technician]:2 carDetail[1][amount]:499 carDetail[1][type]:深度诊断 carDetail[2][technician]:3 carDetail[2][amount]:1300 carDetail[2][type]:二手车检测 carDetail[3][technician]:1 carDetail[3][amount]:10 carDetail[3][type]:空调专项检测

解答方式一：动态规划

<?php // 动态规划 error_reporting(E_ALL ^ E_NOTICE); $t1 = microtime(true); class bestMatch {     public function getMethod($postData)     {         $peopleArr = $gainArr = $nameArr = [0];         foreach ($postData['carDetail'] as $val) {             // 初始化各个套餐：所需人数、利润和套餐名称数组             $peopleArr[] = $val['technician'];             $gainArr[] = $val['amount'];             $nameArr[] = $val['type'];         }         // 获取人数总数（背包）         $totalPeople = $postData['people'];         // 做检测单数         $items = count($peopleArr);         // 利润列表 - 初始状态         $cacheMap[] = array_fill(1, $items, 0);         // 套餐列表 - 初始状态         $cacheMapName[] = array_fill(1, $items, '');         //中间的各种决策(依次放入物品a,b,c,d,e)         // 第一个循环是总人数         for($i = 1; $i <= $totalPeople; $i++)         {             // 第二个循环是套餐             for($j = 1; $j < $items; $j++)             {                 $requiredPeople = $peopleArr[$j];                 $gain = $gainArr[$j];                 $name = $nameArr[$j];                 // 上一行坐标数                 $preLine = $j-1;                 $prevGain = $cacheMap[$preLine][$i];                 $prevName = $cacheMapName[$preLine][$i];                 if($requiredPeople > $i)                 {                     $cacheMap[$j][$i] = $prevGain;                     $cacheMapName[$j][$i] = $prevName;                 }                 else                 {                     // 剩余价值                     if ($i-$requiredPeople >= 0) {                         $surplusPeople = $i-$requiredPeople;                         $surplusGain = $cacheMap[$preLine][$surplusPeople];                         $surplusName = $cacheMapName[$preLine][$surplusPeople];                     }else {                         $surplusGain = 0;                         $surplusName = '';                     }                     $nowTotalGain = $gain + $surplusGain;                     $cacheMap[$j][$i] = max($prevGain, $nowTotalGain);                     if ($prevGain > $nowTotalGain) {                         $cacheMapName[$j][$i] = $prevName;                     }else{                         $cacheMapName[$j][$i] = $name.'+'.$surplusName;                     }                 }             }         }         $actual = count($postData['carDetail']);         return [             'maxMatch' => $cacheMap[$actual][$totalPeople],             'maxMatchName' => trim($cacheMapName[$actual][$totalPeople],'+')         ];     } } $bestMatch = new bestMatch; if (empty($_POST) || isset($_POST['people']) && $_POST['people'] > 0) {     die('提交参数有误'); } $res = $bestMatch->getMethod($_POST); $t2 = microtime(true); echo '动态规划: '.'<br/>'; echo '最佳金额: '.$res['maxMatch'].'<br/>'; echo '最佳套餐搭配: '.$res['maxMatchName'].'<br/>'; echo '耗时'.round($t2-$t1,7).'秒'.'<br/>' ; echo '消耗内存: ' . memory_get_usage().'字节'.'<br/>' ;

解答方式二：递归

<?php // 递归查询 error_reporting(E_ALL ^ E_NOTICE); $t1 = microtime(true); class optimal {     public function getSortList($array,$index = 0,$up =0,&$result =[])     {         for ($i=$index; $i < count($array); $i++) {             if($index > 0 ){                 $value['name'] = $up['name'].'+'.$array[$i]['type'];                 $value['amount'] = bcadd($up['amount'],$array[$i]['amount']);                 $value['technician'] = bcadd($up['technician'],$array[$i]['technician']);             }else{                 $value['name'] = $array[$i]['type'];                 $value['amount'] = bcadd($array[$i]['amount'],0);                 $value['technician'] = bcadd($array[$i]['technician'],0);             }             $result[]  = $value;             $this->getSortList($array,$i+1,$value,$result);         }         return $result ;     }     public function getMethod($postData)     {         $people = $postData['people'];         $carDetail = $postData['carDetail'];         $allResult = $this->getSortList($carDetail);         $bestMatch = [];         foreach ($allResult as $val) {             if ($val['technician'] <= $people) {                 if ($bestMatch) {                     if ($val['amount'] > $bestMatch['amount']) {                         $bestMatch = $val;                     }                 }else{                     $bestMatch = $val;                 }             }         }         return $bestMatch;     } } $optimal = new optimal(); if (empty($_POST) || isset($_POST['people']) && $_POST['people'] > 0) {     die('提交参数有误'); } $bestMatch = $optimal->getMethod($_POST); $t2 = microtime(true); echo '递归查询: '.'<br/>'; echo '最佳金额: '.$bestMatch['amount'].'<br/>'; echo '最佳套餐搭配: '.$bestMatch['name'].'<br/>'; echo '耗时'.round($t2-$t1,7).'秒'.'<br/>' ; echo '消耗内存: ' . memory_get_usage().'字节'.'<br/>' ;

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