c语言最小生成树的实现

1.最小生成树介绍

什么是最小生成树？

最小生成树（Minimum spanning tree，MST）是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权值和最小。

2.prim算法

和Dijkstra算法很像！！请看如下Gif图，prim算法的核心思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有从u能到达的顶点v与集合s之间的最短距离。这样的操作执行n次，直到集合s中包含所有顶点。

不同的是，Dijkstra算法中的dist是从源点s到顶点w的最短路径；而prim算法中的dist是从集合S到顶点w的最短路径，以下是他们的伪码描述对比，关于Dijkstra算法的详细描述请参考文章

算法实现：

#include<iostream> #include<vector> #define INF 100000 #define MaxVertex 105 typedef int Vertex;  int G[MaxVertex][MaxVertex]; int parent[MaxVertex];   // 并查集  int dist[MaxVertex]; // 距离  int Nv;    // 结点  int Ne;    // 边  int sum;  // 权重和  using namespace std;  vector<Vertex> MST;  // 最小生成树  // 初始化图信息  void build(){     Vertex v1,v2;     int w;     cin>>Nv>>Ne;     for(int i=1;i<=Nv;i++){         for(int j=1;j<=Nv;j++)             G[i][j] = 0;  // 初始化图          dist[i] = INF;   // 初始化距离         parent[i] = -1;  // 初始化并查集      }     // 初始化点     for(int i=0;i<Ne;i++){         cin>>v1>>v2>>w;         G[v1][v2] = w;         G[v2][v1] = w;     } } // Prim算法前的初始化  void IniPrim(Vertex s){     dist[s] = 0;     MST.push_back(s);     for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)         if(G[s][i]){             dist[i] = G[s][i];             parent[i] = s;         }  } // 查找未收录中dist最小的点  Vertex FindMin(){     int min = INF;     Vertex xb = -1;     for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)         if(dist[i] && dist[i] < min){              min = dist[i];             xb = i;         }     return xb; } void output(){     cout<<"被收录顺序："<<endl;      for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)         cout<<MST[i]<<" ";     cout<<"权重和为："<<sum<<endl;      cout<<"该生成树为："<<endl;      for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)         cout<<parent[i]<<" "; } void Prim(Vertex s){     IniPrim(s);     while(1){         Vertex v = FindMin();         if(v == -1)             break;         sum += dist[v];         dist[v] = 0;         MST.push_back(v);         for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)             if(G[v][w] && dist[w])                 if(G[v][w] < dist[w]){                     dist[w] = G[v][w];                     parent[w] = v;                 }     } } int main(){     build();     Prim(1);     output();     return 0; }

关于prim算法的更加详细讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=99

3.kruskal算法

Kruskal算法也可以用来解决最小生成树的问题，其算法思想很容易理解，典型的边贪心，其算法思想为：

● 在初始状态时隐去图中所有的边，这样图中每个顶点都是一个单独的连通块，一共有n个连通块

● 对所有边按边权从小到大进行排序

● 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中，否则，将边舍弃。

● 重复执行上一步骤，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减一 或者测试完所有边时结束；如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减一，说明该图不连通。

请看下面的Gif图！

算法实现：

#include<iostream> #include<string> #include<vector> #include<queue> #define INF 100000 #define MaxVertex 105 typedef int Vertex;  int G[MaxVertex][MaxVertex]; int parent[MaxVertex];   // 并查集最小生成树  int Nv;    // 结点  int Ne;    // 边  int sum;  // 权重和  using namespace std;  struct Node{     Vertex v1;     Vertex v2;     int weight; // 权重      // 重载运算符成最大堆      bool operator < (const Node &a) const     {         return weight>a.weight;     } }; vector<Node> MST;  // 最小生成树  priority_queue<Node> q;   // 最小堆  // 初始化图信息  void build(){     Vertex v1,v2;     int w;     cin>>Nv>>Ne;     for(int i=1;i<=Nv;i++){         for(int j=1;j<=Nv;j++)             G[i][j] = 0;  // 初始化图         parent[i] = -1;     }     // 初始化点     for(int i=0;i<Ne;i++){         cin>>v1>>v2>>w;         struct Node tmpE;         tmpE.v1 = v1;         tmpE.v2 = v2;         tmpE.weight = w;         q.push(tmpE);      } } //  路径压缩查找  int Find(int x){     if(parent[x] < 0)         return x;     else         return parent[x] = Find(parent[x]); }  //  按秩归并  void Union(int x1,int x2){     if(parent[x1] < parent[x2]){         parent[x1] += parent[x2];         parent[x2] = x1;     }else{         parent[x2] += parent[x1];         parent[x1] = x2;     } }  void Kruskal(){     // 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边      while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){         Node E = q.top();  // 从最小堆取出一条权重最小的边         q.pop(); // 出队这条边          if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){  // 检测两条边是否在同一集合              sum += E.weight;              Union(E.v1,E.v2);     // 并起来              MST.push_back(E);         }     }      }  void output(){     cout<<"被收录顺序："<<endl;      for(Vertex i=0;i<Nv;i++)         cout<<MST[i].weight<<" ";     cout<<"权重和为："<<sum<<endl;      for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)         cout<<parent[i]<<" ";     cout<<endl; } int main(){     build();     Kruskal();     output();     return 0; }

关于kruskal算法更详细的讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=100

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